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巧用15个二级结论快速解题 高中数学中有一些结论，若在解题中利用得当，不仅可以简化解题的思考过程，而且还可以提高解题速度和准确度，尤其是在解答选择题、填空题时，记住这些常用的结论，可以帮你快速厘清数学中的诸多套路，节约大量的做题时间． 结论(一) 函数的周期性 对函数f(x)定义域上任一自变量x： (1)如果f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠0，b≠0，a≠b)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝b－a. (2)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. (3)如果f(x＋a)＝f（x）(1)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. (4)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 【巧用结论】 1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝|2－x|，0≤x<1，(x＋a，－1≤x<0，)其中a∈R.若f(－5)＝f(4.5)，则a的值为( C ) A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 解析：因为f(x＋1)＝f(x－1)，由结论(1)得f(x)是周期为2的周期函数．又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，解得a＝2.5. 2．已知∀x∈R，函数f(x)都满足f(x)·f(x＋4)＝1，又f(－1)＝2，则f(19)＝____________________． 解析：因为f(x)·f(x＋4)＝1，显然f(x)≠0，所以f(x＋4)＝f（x）(1)，由结论(3)知函数f(x)是周期为8的周期函数，又f(－1)＝2，所以f(19)＝f(2×8＋3)＝f(3)＝f（－1）(1)＝2(1). 答案：2(1) 结论(二) 奇函数的性质 已知函数f(x)是定义在集合D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0. 【巧用结论】 1．已知函数f(x)＝ax3＋b sin x＋3，若f(m)＝2，则f(－m)＝( A ) A．4 B．5 C．7 D．－2 解析：构建函数g(x)＝f(x)－3＝ax3＋b sin x，因为g(－x)＝－ax3－b sin x＝－g(x)，所以g(x)在R上为奇函数，则g(m)＋g(－m)＝0，即f(m)＋f(－m)－6＝0，则f(－m)＝4，故选A. 2．设函数f(x)＝x2＋1(（x＋1）2＋sin x)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 解析：显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝x2＋1(（x＋1）2＋sin x)＝1＋x2＋1(2x＋sin x). 设g(x)＝x2＋1(2x＋sin x)，则g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋m＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 答案：2 结论(三) 函数的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数： (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2(a＋b)对称． 【巧用结论】 1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，上单调递增，则有( B ) A．f(4(1))<f(－4(1))<f(2(3)) B．f(－4(1))<f(4(1))<f(2(3)) C．f(4(1))<f(2(3))<f(－4(1)) D．f(－4(1))<f(2(3))<f(4(1)) 解析：由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0，上单调递增，故f(x)在[－1，上也单调递增．综上，函数f(x)在[－1，上单调递增，在[1，上单调递减．又f(2(3))＝f(2－2(3))＝f(2(1))，所以f(－4(1))<f(4(1))<f(2(1))＝f(2(3)). 2．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝－2－f(x)，若函数y＝x(－x＋1)与y＝f(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x100，y100)，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为( D ) A．200 B．50 C．－70 D．－100 解析：函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝－2－f(x)， 即为f(x)＋f(－x)＝－2， 可得f(x)关于点(0，－1)对称， 函数y＝x(－x＋1)＝－1＋x(1)的图象关于点(0，－1)成中心对称， 即若点(x1，y1)为交点，则点(－x1，－2－y1)也为交点， 同理若(x2，y2)为交点，则点(－x2，－2－y2)也为交点， ……， 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x100＋y100)＝2(1)×[(x1＋y1)＋(－x1－2－y1)＋(x2＋y2)＋(－x2－2－y2)＋…＋(x100＋y100)＋(－x100－2－y100)]＝－100.故选D. 结论(四) 两个经典不等式的应用 (1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立． (2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立． 进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1). 上述两个经典不等式的原型来自于泰勒级数：ex＝1＋x＋2！(x2)＋…＋n！(xn)＋（n＋1）！(eθx)xn＋1， ln (1＋x)＝x－2(x2)＋3(x3)－…＋(－1)nn＋1(xn＋1)＋o(xn＋1)，截取片段：ex≥x＋1(x∈R)，ln (1＋x)≤x(x>－1)， 当且仅当x＝0时，等号成立；进而ln x≤x－1(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立． 【巧用结论】 1．已知a＝100(1)，b＝e100(99) (99)，c＝ln 100(101)，则a，b，c的大小关系为( C ) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<a<c 解析：由结论可得b＝e100(99) (99)>－100(99)＋1＝100(1)＝a，c＝ln 100(101)＝ln (100(1)＋1)<100(1)＝a，所以c<a<b. 2．已知函数f(x)＝ex－ln (x＋m)，求证：当m≤2时，f(x)>0. 证明：由对数形式经典不等式x≥1＋ln x(x>0)，得x＋1≥ln (x＋2)(x>－2).因为m≤2，故ln (x＋2)≥ln (x＋m). 结合指数形式经典不等式ex≥x＋1(x∈R)，得ex≥x＋1≥ln (x＋2)≥ln (x＋m)，不等式中前两个等号成立的条件分别是x＝0和x＝－1，不能同时取到，故得ex>ln (x＋m)，即当m≤2时，f(x)>0. 结论(五) 基本不等式的变形及推论 (1)变形：ab≤(2(a＋b))2≤2(a2＋b2)(a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立). (2)推论：如果a>0，b>0，c>0，那么3(a＋b＋c)≥abc(3)(当且仅当a＝b＝c时等号成立). 【巧用结论】 1．已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为( D ) A． B． C．2 D．2 解析：因为4a2＋b2＝7，则a＝2(1)×(2a)·＝2(1)≤2(1)×2(4a2＋1＋b2)＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，等号成立．故选D. 2．已知θ为锐角，则y＝sin θ·cos2θ的最大值为________． 解析：y2＝sin2θ·cos4θ＝2(1)×2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤2(1)×[3(2sin2θ＋（1－sin2θ）＋（1－sin2θ）)]3＝2(1)×(3(2))3＝27(4)，当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝3(3)时等号成立，所以ymax＝9(3). 答案：9(3) 结论(六) 与三角函数的奇偶性有关的结论 (1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋2(π)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z). (2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋2(π)(k∈Z). (3)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝2(kπ)(k∈Z). 【巧用结论】 1．已知函数f(x)＝cos (2x－θ)(|θ|<2(π))，将函数f(x)的图象沿x轴向左平移6(π)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数f(x)的极值点为( B ) A．6(π)＋kπ(k∈Z) B．6(π)＋2(kπ)(k∈Z) C．12(π)＋kπ(k∈Z) D．12(π)＋2(kπ)(k∈Z) 解析：由题意知，函数f(x)的图象沿x轴向左平移6(π)个单位长度得到f(x＋6(π))＝cos (2x＋3(π)－θ)的图象，由结论(2)得，3(π)－θ＝kπ(k∈Z).由于|θ|<2(π)，则k＝0，θ＝3(π)，因此f(x)＝cos (2x－3(π))，由2x－3(π)＝kπ(k∈Z)得x＝6(π)＋2(kπ)(k∈Z)， 所以函数f(x)的极值点为6(π)＋2(kπ)(k∈Z).故选B. 2．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)－cos (2x＋φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数，则f8(π)＝________． 解析：由题意知f(x)＝sin (2x＋φ)－cos (2x＋φ)＝2sin (2x－6(π)＋φ)， 因为f(x)为R上的奇函数，由结论(1)可知φ－6(π)＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋6(π)(k∈Z)，又0<φ<π， 所以φ＝6(π)，所以f(x)＝2sin 2x， 所以f(－8(π))＝2sin (－4(π))＝－. 答案：－ 结论(七) 与解三角形有关的结论 (1)在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝a cos B＋b cos A，其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (2)在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则AD2＝2(1)(AB2＋AC2)－4(1)BC2. (3)在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，则S△ACD(S△ABD)＝AC(AB)＝CD(BD). (4)奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·→(PA)＋S△PAC·→(PB)＋S△PAB·→(PC)＝0. 由于这个定理对应的图形和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 【巧用结论】 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c cos A＋a cos C＝2，AC边上的高为，则角B的最大值为( B ) A．6(π) B．3(π) C．2(π) D．3(2π) 解析：由c cos A＋a cos C＝b得b＝2.因为AC边上的高为，所以2(1)×2×＝2(1)ac sin B，即ac＝sin B(3)，又cos B＝2ac(a2＋c2－b2)≥2ac(2ac－b2)＝1－ac(2)，当且仅当a＝c时取等号，所以cos B≥1－3(3)sin B，即sin B＋3cos B≥3， 即sin (B＋3(π))≥2(3).因为B∈(0，π)，所以B＋3(π)∈(3(π)，3(4π)) ，则B＋3(π)∈3(2π)，所以B∈3(π)，故角B的最大值为3(π).故选B. 2．P是△ABC内一点，且→(AP)＝3(1)→(AB)＋4(1)→(AC)，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是( C ) A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．1∶2 解析：连接PC(图略)，→(AP)＝3(1)→(AB)＋4(1)→(AC)＝3(1)(→(PB)－→(PA))＋4(1)(→(PC)－→(PA))＝3(1)→(PB)＋4(1)→(PC)－12(7)→(PA)，即12(5)→(PA)＋3(1)→(PB)＋4(1)→(PC)＝0.利用奔驰定理得S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝12(5)∶3(1)∶4(1)＝5∶4∶3，所以S△ABC(S△ABP)＝5＋4＋3(3)＝4(1). 故选C. 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝c cos A，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos ∠CAB＝8(1)，则AC＝________． 解析：因为b＝c cos A，所以△ABC是以C为直角的直角三角形，8(1)＝cos ∠CAB＝AB(AC)，由三角形内角平分线定理可得，AB(AC)＝BD(CD)＝8(1)，设AC＝x，AB＝8x，则BC＝3x，CD＝9(1)BC＝3(7)x. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2＋(3(7)x)2＝1. 解得x＝4(3)(负值舍去)，即AC＝4(3). 答案：4(3) 结论(八) 平面向量的重要结论 (1)等和线定理 平面内一个基底{→(OA)，→(OB)}及任一向量→(OC)，→(OC)＝λ→(OA)＋μ→(OB)(λ，μ∈R)，若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立．我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线” . (2)平面向量中的极化恒等式 a·b＝4(1)[(a＋b)2－(a－b)2]或4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2. 几何意义：向量的数量积可以表示为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长的平方差的4(1). 【巧用结论】 1．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若→(AP)＝λ→(AB)＋μ→(AD)，则λ＋μ的最大值为( A ) A．3 B．2 C． D．2 解析：如图，由等和线定理知，当点P在和BD平行且和圆C相切的直线上时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AB(AF)＝AB(AB＋BE＋EF)＝3. 2．已知线段AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则→(PA)·→(PB)的最小值是________． 解析：如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x－y＋2＝0时，→(PA)·→(PB)有最小值，此时|→(PO)|＝1＋1(|2|)＝，→(PA)·→(PB)＝|→(PO)|2－|→(AO)|2＝()2－12＝1. 答案：1 结论(九) 三角形“四心”的向量形式 三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1) 如图1，O为△ABC的重心⇔→(OA)＋→(OB)＋→(OC)＝0. (2)如图2，O为△ABC的外心⇔|→(OA)|＝|→(OB)|＝|→(OC)|＝2sin A(a)⇔(→(OA)＋→(OB))·→(AB)＝(→(OB)＋→(OC))·→(BC)＝(→(OA)＋→(OC))·→(AC)＝0. (3)如图3，O为△ABC的内心⇔a→(OA)＋b→(OB)＋c→(OC)＝0⇔sin A·→(OA)＋sin B·→(OB)＋sin C·→(OC)＝0. (4)如图4，O为△ABC的垂心⇔→(OA)·→(OB)＝→(OB)·→(OC)＝→(OC)·→(OA). 说明：三角形“四心”——重心，外心，内心，垂心 (1)重心——中线的交点：重心将中线长度分成2∶1. (2)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等． (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等． (4)垂心——高线的交点：高线与对应边垂直． 【巧用结论】 1．已知O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2→(AB)·→(AO)＝|→(AB)|2，2→(AC)·→(AO)＝|→(AC)|2，则点O为该三角形的( B ) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 解析：根据题意，2→(AB)·→(AO)＝|→(AB)|2， 即2|→(AB)||→(AO)|cos 〈→(AB)，→(AO)〉＝|→(AB)|2， 所以|→(AO)|·cos 〈→(AB)，→(AO)〉＝2(1)|→(AB)|， 则向量→(AO)在向量→(AB)上的投影向量的长度为|→(AB)|的一半， 所以点O在边AB的中垂线上， 同理，点O在边AC的中垂线上， 所以点O为该三角形的外心. 故选B. 2．已知△ABC的内角A＝3(π)，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面上一点，且满足|→(OA)|＝|→(OB)|＝|→(OC)|，设→(AO)＝m→(AB)＋n→(AC)，则m＋n的值为( A ) A．18(11) B．1 C．18(7) D．2 解析：根据三角形“四心”的向量形式的充要条件，由|→(OA)|＝|→(OB)|＝|→(OC)|，得点O是△ABC的外心．又外心是三角形三边中垂线的交点， 则有|2，(AC) 即＝8.(AC) 又→(AB)·→(AC)＝12，所以3m＋4n＝2，(6m＋2n＝3，)解得，(1) 即m＋n＝9(4)＋6(1)＝18(11)，故选A. 3．已知点G是△ABC的重心，且满足2sin B·→(AB)＋3sin A·→(GA)＋2sin C·→(GC)＝0，则cos C＝________． 解析：因为点G是△ABC的重心，所以→(GA)＋→(GB)＋→(GC)＝0，因为2sin B·→(AB)＋3sin A·→(GA)＋2sin C·→(GC)＝0，由正弦定理可得2b·→(AB)＋3a·→(GA)＋2c·→(GC)＝0， 所以2b·(→(GB)－→(GA))＋3a·→(GA)＋2c·→(GC)＝0， 即(3a－2b)→(GA)＋2b→(GB)＋2c→(GC)＝0，故2b＝2c＝3a－2b， 则c＝b，a＝3(4)b，则由余弦定理可得cos C＝2ab(a2＋b2－c2)＝×b(4b)＝3(2). 答案：3(2) 结论(十) 等差数列和等比数列 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差： ①若等差数列{an}的项数为2m，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，S偶(S奇)＝am＋1(am)； ②若等差数列{an}的项数为2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，S偶(S奇)＝m－1(m)； (2)已知等比数列{an}，其公比为q(q≠0)，前n项和为Sn： ①当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn； ②{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，Tn(T2n)，T2n(T3n)，…仍成等比数列． 【巧用结论】 1．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d＝________． 解析：设偶数项和为32k，则奇数项和为27k， 由32k＋27k＝59k＝354可得k＝6， 故公差d＝6(32k－27k)＝6(5k)＝5. 答案：5 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝6，则S24＝________． 解析：因为数列{an}为等比数列，由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6，…，S24－S21，… 构成首项为S3＝2，公比为q＝S3(S6－S3)＝2(6－2)＝2的等比数列，且S24是该等比数列的前8项和， 所以S24＝1－2(2×（1－28）)＝510. 答案：510 结论(十一) 立体几何 (1)长方体的体对角线长d与共点三条棱长a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体的外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2. (2)棱长为a的正四面体的内切球的半径r＝12(6)a，外接球的半径R＝4(6)a. (3)面积射影定理 如图，设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在平面和平面α的夹角为θ，则cos θ＝S′∶S. 【巧用结论】 1．已知棱长为a的正四面体的外接球的表面积为S1，内切球的表面积为S2，则S1∶S2＝( A ) A．9∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．1∶3 解析： 设内切球半径为r，外接球半径为R. 由结论(2)得R＝3r，所以S1∶S2＝R2∶r2＝9∶1. 故选A. 2．一间民房的屋顶有如图所示的三种不同的盖法：图1单向倾斜；图2双向倾斜；图3四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1，P2，P3.若屋顶斜面与水平面所成的角为α，则( D ) A．P3>P2>P1 B．P3>P2＝P1 C．P3＝P2>P1 D．P3＝P2＝P1 解析：设一间民房的底面面积为P，按题意并利用面积射影定理得：cos α＝P1(P)，cos α＝P2(P)，cos α＝P3(P)，由于P与α为常量，所以P1＝P2＝P3，故选D. 3．仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个与圆柱侧面相切的球完美地证明了用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱所得的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内有两个与圆柱侧面相切的球，球心相距4，现用与两球都相切的平面截圆柱，所得到的截面边缘线是椭圆，则该椭圆的面积为________． 解析：设两个球的球心分别为O1，O2，椭圆的长轴长为AB，作出圆柱上过点A，B的轴截面，如图所示，连接O1O2，直线AB与O1O2交于点O，过点A作O1O2的垂线，交圆柱的母线于点C，设AB切球O2于点E，连接O2E. 因为在Rt△O2EO中，OO2＝2(1)O1O2＝2，EO2＝1，所以cos ∠EO2O＝OO2(EO2)＝2(1)，所以∠EO2O＝60°，所以OE＝.易知∠BAC＝∠EO2O＝60°，所以cos ∠BAC＝2(1).截面椭圆在圆柱底面上的射影为圆柱的底面圆，由面积射影定理得，截面椭圆与圆柱底面所成二面角的余弦值为cos ∠BAC＝2(1)＝S椭圆(π×12)，所以S椭圆＝2π. 答案：2π 结论(十二) 焦点三角形的面积公式 (1)在椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a＞b＞0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2tan 2(θ)，其中θ＝∠F1PF2. (2)在双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a＞0，b＞0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝2(θ)，其中θ＝∠F1PF2. 【巧用结论】 1．已知椭圆25(x2)＋16(y2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( A ) A．3(3) B．3(3) C．16 D．32 解析：由题意及结论(1)，得S△F1PF2＝b2tan 2(∠F1PF2)＝16×tan 2(60°)＝3(3). 2．设双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面积为4，则a的值为( A ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析： 由F1P⊥F2P可知∠F1PF2＝90°. 根据结论(2)，得S△PF1F2＝tan 45°(b2)＝4，则b2＝4. 又a2(c2)＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1. 故选A. 结论(十三) 圆锥曲线的切线问题 (1)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R2. (2)过椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)的切线方程为a2(x0x)＋b2(y0y)＝1. (3)过双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)的切线方程为a2(x0x)－b2(y0y)＝1. (4)已知点M(x0，y0)，抛物线C：y2＝2px(p>0)和直线l：y0y＝p(x＋x0). ①当点M(x0，y0)在抛物线C上时，直线l与抛物线C相切，其中M为切点，l为切线． ②当点M(x0，y0)在抛物线C外时，直线l与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线的两条切线，即直线l为切点弦所在的直线. ③当点M(x0，y0)在抛物线C内时，直线l与抛物线C相离． 【巧用结论】 1．已知过椭圆12(x2)＋4(y2)＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为( B ) A．x－y－3＝0 B．x＋y－2＝0 C．2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0 解析：由结论(2)知过椭圆12(x2)＋4(y2)＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为12(3x)＋4(－y)＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3).即x＋y－2＝0. 2．过双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a＞0，b＞0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为5(2)，则双曲线C的离心率为( C ) A．5(29) B．3(30) C．5(35) D．5(30) 解析： 设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为a2(xx0)－b2(yy0)＝1，故切线l的斜率k＝a2y0(b2x0). 因为k·kOP＝5(2)，即a2y0(b2x0)·x0(y0)＝5(2)，则a2(b2)＝5(2)，即双曲线C的离心率e＝ 5(2)＝5(35). 3．过点P(－3，1)作抛物线 C：y2＝8x的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为____________________． 解析：设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B的切线方程分别设为y1y＝4(x＋x1)，y2y＝4(x＋x2)，点P(－3，1)在两切线上，因此y1＝4(－3＋x1)，y2＝4(－3＋x2).所以直线AB的方程为y＝4(－3＋x)，即4x－y－12＝0. 答案：4x－y－12＝0 结论(十四) 圆锥曲线的中点弦问题 (1)在椭圆C：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)中(特别提醒：此结论适用于焦点在x轴上的椭圆)： ①如图1所示，若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，过A，B两点作椭圆的切线l，l′，有l∥l′，设其斜率为k0，则k0k＝－a2(b2). ②如图2所示，若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1k2＝－a2(b2). ③如图3所示，若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与椭圆C交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0k＝－a2(b2). (2)在双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)中，类比上述结论有(特别提醒：此结论适用于焦点在x轴上的双曲线)：①k0k＝a2(b2)；②k1k2＝a2(b2)；③k0k＝a2(b2). (3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)中的结论有k＝y0(p)(y0≠0). 【巧用结论】 1．已知点A，B在抛物线y2＝4x上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝( C ) A．4 B．5 C． D．2 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点弦的结论k＝y0(p)(y0≠0)可知，直线AB的斜率为k＝2， 故直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 联立y＝2x－1，(y2＝4x，)消y整理得4x2－8x＋1＝0， Δ＝(－8)2－4×4×1>0，x1＋x2＝2，x1x2＝4(1)， 则|AB|＝＝·＝. 故选C. 2．已知椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a＞b＞0)，点F为右焦点，B为上顶点，平行于FB的直线l交椭圆于M，N两点且线段MN的中点为Q4(1)，则椭圆的离心率为( A ) A．2(2) B．2(1) C．4(1) D．2(3) 解析： 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的斜率为k，则1(2)1(2)2(2)2(2)＝1，( )两式相减得a2(（x1－x2）（x1＋x2）)＋b2(（y1－y2）（y1＋y2）)＝0，所以x1－x2(y1－y2)·x1＋x2(y1＋y2)＝－a2(b2)，由线段MN的中点为Q4(1)，所以x1＋x2＝－1，y1＋y2＝－2(1)，所以2(k)＝－a2(b2)，又k＝－c(b)， 所以2c(b)＝a2(b2)，又a2＝b2＋c2，所以b＝c， 所以a＝c，即e＝2(2). 结论(十五) 概率与统计 (1)概率加法公式的推广 ①当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). [注意 涉及的各事件要彼此互斥． (2)二项分布与超几何分布 | | | | 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cn(k)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p) | 假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝M(k)N－M(n－k)N(n) (n)，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从超几何分布 | | | E(X)＝np，其中p＝N(M)，表示N件产品的次品率 | | | |
【巧用结论】 1．甲、乙两名志愿者均打算高考期间去A，B，C三个考点中的一个考点做志愿服务，甲去A，B考点做志愿服务的概率分别为0.4，0.3，乙去B，C考点做志愿服务的概率分别为0.5，0.2，则甲、乙不去同一考点做志愿服务的概率为( C ) A．0.26 B．0.33 C．0.67 D．0.74 解析：甲去A考点，乙不去A考点的概率为0.4×(0.5＋0.2)＝0.28；甲去B考点，乙不去B考点的概率为0.3×(1－0.5)＝0.15；甲去C考点，乙不去C考点的概率为(1－0.4－0.3)×(1－0.2)＝0.24.则甲、乙不去同一考点做志愿服务的概率为0.28＋0.15＋0.24＝0.67.故选C. 2．一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子中任意取出3个，则取到白米粽的个数的均值为________． 解析：设取到白米粽的个数为随机变量X，则X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，所以E(X)＝N(nM)＝10(3×4)＝5(6) . 答案：5(6)
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